#2373 統計学はいつ・なにを・どのように学ぶべきか？ Aug. 15, 2013

　統計学をいつ教えるべきかということに関して、ハンドルネーム「ペトロナス」さんから面白い投稿があったのでとりあげたい。かねてから一度考えて見る必要があると思っていたので、いいタイミングである。まあ、事前打ち合わせナシのコラボレーションのようなもの。ブログの楽しみの一つだ。

　#2357「臨床試験でデータ捏造・・・」で、ディオパンという降圧剤の臨床試験データ捏造を取り上げたが、なにぶん統計データにかかわることなので、標記の点についてご意見をいただいたわけである。
　ペトロナスさんの投稿をそのまま掲載し、そしてわたしのコメントは加筆して再掲する。

http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2013-07-16
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杜撰な人選を行った結果、杜撰なデータ捏造に繋がる、有り得ないことだと思います。
平均値を変えても、標準偏差が全く同じ数値になるように捏造した場合、中央値や最頻値が変わる可能性が高いので、現役の中学生２、３年生もしくは高校１、２年生なら捏造だと簡単に見抜けるのではないかと思います。

今の高校３年生から３０代半ばの方だと何処かで統計学を学ばないと何処がどう捏造なのか分からないと思います。
（私は情報処理試験の受験勉強で勉強しました。その後に大学で統計学の講義をとったのでさらに理解が深まったかと思われます。）

（追記）
計算方法だけなら中学生でも分散、標準偏差でもマスターできると思いますが、分散の計算方法の導き出しの過程で、高校の数列で学習するΣ記号を使わないと説明が出来ないので、個人的な意見ですが中学校の段階では取り扱わない方が良いのかなと思います。（現状数Ⅰで「分散、標準偏差」を学習して、数Bの数列の和を学習したあとに、ふりかえりとして授業で「分散の計算方法」の導き出しを説明した方が理解が深まるのかなと思います）


by ペトロナス (2013-08-15 01:13) 

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ペトロナスさんへ

投稿ありがとうございます。
中学校で統計をやらなかったということは生まれた年が1960年よりも後ですね。
1970年代半ばに東京渋谷の進学教室で中学生に統計を教えた記憶があります。その当時は教科書に統計が載っており、電卓を使って表計算をしてました。だから∑記号を使わずとも計算もできるし、考え方もある程度伝わったと思います。
その当時の東京都で実施されていた学力テストの結果通知票には都内全域の平均点や偏差値の他に、学校の平均偏差値や個人別の学内順位などが科目ごとに記載されていました。
だから、その表を利用して、偏差値の説明もしていました。
それゆえ、結果通知票を理解するためにも中学生に統計の計算方法を教える必要がありました。偏差値がなんだか理解できないのでは、通知票に記載されている偏差値に意味がありません。ダダの記号で終わらせないためには、その記号の意味理解が不可欠であり、それが教育というものだろうと考えます。

＞計算方法だけなら中学生でも分散、標準偏差でもマスターできると思いますが、・・・

教えた経験からは偏差値にまつわる基礎的な統計概念は中学生でも計算方法とともに十分に理解できます。教え方次第でしょうね。

数学的にきれいに説明しようと思うとあなたが言うように∑記号を使ったほうが便利がいいことは事実です。
数列は数Bですから高校2年生ですね。根室高校は2年前まで数Bは選択科目でした。数年前までの事情を考えると、数Bの選択は理系進学コースの選択科目でしたから、三分の一の生徒しか統計の数学的な説明を受けられないことになります。現在のカリキュラムでは数列では統計学の説明はありませんので、大学で統計学を習うときに数B数列の知識が役に立つということ。
数C「確率分布」で∑や定積分をつかった説明がなされています。しかし、数Cは選択科目ですから、履修しているのは生徒の1割程度でしょう。つまり、数学的にきれいに説明しようと思ったら、対象となる高校生は10%とならざるを得ないという現実があります。
その一方で統計の基礎的な部分は高校生全員に理解してもらいたい、あるいは理解させておかなければならないという現実的なニーズがあります。
根室高校普通科では進研模試を強制受験させていますが、その結果通知票には偏差値が載っています。1年生は6月に最初の全国模試を受験するスケジュールになっています。だから、中学生のうちに統計の基礎的部分はきちんと理解させておかなければならないだろうと私は考えています。

ところで古い数学の参考書を見て驚いたので、そのことに触れておきます。
1974年出版の数学の参考書では、数1に三角関数や平面ベクトルが含まれています。これらは現在は数Ⅱと数Bでそれぞれ扱われています。
そして数ⅡBで空間ベクトル、行列が扱われています。
高校数学は40年前は現在よりもすこしレベルが高かったようです。

高校進学率が高まり、高校生の学力レベルが下がったので、そうした事情に合わせて学習指導要領が変更されたのでしょうが、いつ変ったのでしょう？
高校生の学力が下がるわけです。団塊世代の頃は根室ではほぼ三分の一が道立高校への進学率でした。だから成績上位層対象のカリキュラムでよかった。全国的にも似たような状況だったのでしょうね。現在の高校数学の標準的なレベルをクリアできるのは、高校生の四人に一人でしょうね。それ以上は無理です。いつの時代もそんなものです。根室では高校生はおおよそ250人、根室高校普通科の生徒数はそのうちの約半分の120人ですが、「標準的な高校数学」の授業内容をしっかり理解できるのはそのうちの10%、せいぜい12人ほどでしょう。教科書準拠の問題集「３トラ」を数字を変えずに定期テストで使うから赤点をとらずにすんでいる生徒が30%はいます。理解していなくても、覚えているだけで高得点できます。

高校のレベルを上げるには、進学率を下げるような仕掛け＝競争の導入が必要ですね。
昔のカリキュラムについていける学力レベルは現在の根室の高校生では四人に一人でしょう。

気になるのは根室高校の数学定期試験のレベルがこの数年間じわじわ低下し続けていることです。教科書附属の問題集からそのまま出題するようになってきました。
これでは学校の定期テストで90点以上とれても全国模試では平均点すらとれません。
数学で定期テスト学年トップ、そして進研模試で偏差値45などという情けないことになります。

市議選挙が近いのですが、市議たちはもっと学力問題に関心をもってもらいたい。根室に残る者たちの学力レベルがこれ以上低下したら、いろんなところで支障が起きます。現実に市立根室病院建て替えでも、病院経営赤字の拡大（昨年度は前市長時代の2倍を超える17億円弱）でも、すでに手がつけられない状態になっています。
　これらを解決するにはさまざまな問題を理解するためにかなりの学力レベルが要求されます。問題を担いうる人材が現在の根室にはほとんどいない、それが現実です。


by ebisu (2013-08-15 10:44) 
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【統計学は段階的に教えることができる：中学生⇒高校生】
　統計学については、中学生には電卓をつかって表計算で計算方法や基礎的概念の説明が可能です。40年前の中学生はそうしたツールを利用して統計学の基礎を理解していました。そのころは東京都では公立中学の学力テスト結果通知票に偏差値を載せていたので、その計算方法や意味、仕組みを理解させておく現実的なニーズがありました。
　それにしても、道内の公立中学校で実施されている学力テストは全道平均点も市町別平均点も偏差値表示もありません。こんなお粗末な学力テスト（北海道教育分化協会が作成、いわゆる業者テスト）は廃止すべきですね。こんなお粗末な学力テストが何十年も継続されて、学校の先生たちからさえ批判が出ない、どうかしていますね。北海道の学校の先生、北海道の小中学生の保護者、北海道及び各市町村教育行政のレベルに低さの象徴にみえます。

　高校一年生は「情報」という科目でEXCELを学ぶので、電卓を叩かなくても、EXCELの関数機能を利用して、統計計算を実習できます。だから、高校1年生にはパソコンを使って統計学の基礎を教えたらいい。

　高校二年生には数列を教えたところで、それまで学んだ統計学の基礎を∑記号を使って説明してやればいいのでしょう。
　そして、数Cを選択した高校三年生には推測統計学の基礎までしっかり教えればいい。
　そこまでやれば、統計学の専門書を自力で読めますから、興味のある人は専門書を読む。

　いろんな専門書を読む基礎的な力は高校の授業が与えてくれます。高校は7時間授業にして、文系でも数Ⅲや数Cが選択できるようにしてほしいですね。物理や化学も文系で7時間目の選択科目としてくれたら、学習意欲の高いトップクラスの生徒達はマルチ能力を有した人材へと大きく成長できます。そういう人材を育てるシステムつ作りうるなら、急速な高齢化による人口減少下でも日本経済の成長がありうるでしょう。
　高校時代の勉強がいかに大事かは社会人となったっときにわかります。

【大学生の統計学：ひとつの事例】
　2年前に道内のある大学へ進学した生徒が、統計学が難しくて分からないので夏休みに教えてほしいという「お願い」がありました。テキストを見たら東大の教養で使っている統計学の専門書でした。偏差値の高い東大生なら数式のオンパレードの専門書が理解できますが、数Cをやっていない普通の道内の大学生にはとても歯が立たないということになります。私塾もそれくらいのアフターサービスの必要がある時代になってきたようです。宿題はEXCELをつかってやらせるようになっていました。もちろん担当の先生は、内容が理解できるようにたっぷり演習問題を宿題にしていましたから、数学が得意でない生徒達は悲鳴をあげたでしょうね。そのときは生徒達のレベルに合わせてもうすこしわかりやすいテキストを選んであげたらいいのにと思いましたね。

　大学なんてそんなものです、生徒に分かろうがわかるまいが、一方的にガンガン専門用語を使いながら授業をしてしまえばいい。ついてこれない生徒はほったらかしでいい。
　昔は高校がそういう雰囲気だった。宿題なんてほとんどなし。いつのころからか、高校で毎週宿題が出されるようになってしまった。宿題を出さないと勉強しない、これではまるで小学校です。どの段階の学校も昔に比べると幼児化している。あまり手をかけてはいけません。そんなことをしていたら、すぐれた職人を生み出す装置である徒弟制度がなりたたなくなります。あれは教えないんです、親方の技を「盗む」、頭を使わないとそんなことはできっこありません。

　いつまでも手取り足取り教えてくれると思ってはいけませんよ。社会人となったら授業料を支払って会社勤めをするわけではありません、給料をいただいて働くのですから、給料に見合った分の仕事はしないとクビです。厳しいことはあたりまえの世界、仕事と給料は裏腹の関係です。仕事ができなければ給料ももらえないということ。この点だけは昔もいまも変りません。


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　　　　　　　　　　　　　　<補足>

*【各データに定数を加えた操作をするとどうなるか】
　例えば、EXCELで作った原始データに5を加えると平均値や中央値は5増えますが、平均値と各データの差の平方和は元データと同じになります。したがって、標準偏差も元データと同じになります。分布は右側に５ずれるだけで同型となります。だから、平均値が違っていて、標準偏差が同じになっていたら、定数を各データに加算して人為的に作成されたデータではないかと疑うのが当然です。

【日本の労働者の質の劣化がはじまっている？】
　こんな杜撰なデータ捏造をやってばれないと考えたとしたら、そのこと自体が異常です。データが100あるとして、わずか数個のデータに5以外の数字を加算すれば標準偏差が違ってくるのですから目くらましにはなるでしょう。そのような形跡すらないようですから、捏造の仕方が捏造とはいいがたいぐらい稚拙です。すぐにばれるようにわざとやったようにも見えます。なぜすぐにばれるようなやりかたでデータの捏造をしたのでしょう？
　製薬メーカのノバルティスは販売促進にこの臨床データを利用していたようですが、販売促進の資料を作成した部門の担当者はこのデータ捏造を承知していたとebisuは推測します。こんなこともわからない人間が担当しているはずがありません。でも、大学研究室のお墨付きの臨床試験データがおかしいなんて、立場上口が裂けても言えないでしょうね。社内でトラブルになります。ひとつの大学研究室とトラブルを起こすと、狭い世界ですから他の大学研究室にも影響がでます。そんな大騒ぎになったら担当者の出世に大きく響きます。
　もうひとつ、製薬メーカから巨額の研究資金が大学の各研究室へ流れていますが、それ自体が問題です。今回の研究室は1億円の研究資金を寄付金名目で当該製薬メーカから受け取っていました。そういう構造の中では臨床試験のデータ自体が危ういものになるということを今回の事件が例証しているように見えます。
　簡単に見破れるデータ捏造は好い加減な臨床試験への現場の担当者からの告発だったのでしょうか？
　ごまかすつもりでこのようなデータ操作をやり、それを販売促進部門が見逃したのなら、学力の低下は日本を覆い尽くしていることになります。
　どうやら日本人の労働者の知的レベルががくんと下がり始めている、長期的に見ると日本経済に深刻なダメージとなるでしょう。
　日本の経済成長というのは一般的な労働者の学力レベルが高いことと、仕事の志気が高いことに支えられていましたが、その土台が崩れつつあるのかもしれません。
　高齢化に伴う人口減少による経済規模の縮小、そしてこのような日本の労働者の知的な劣化現象が負の相乗効果をもたらしたら、アベノミクスの成長路線はまったくの幻想となります。



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コメント 4

>ころで古い数学の参考書を見て驚いたので、
>そのことに触れておきます。
>1974年出版の数学の参考書では、
>数Ⅰに三角関数や平面ベクトルが含まれています。
>これらは現在は数Ⅱと数Bでそれぞれ扱われています。
>そして数ⅡBで空間ベクトル、行列が扱われています。
>高校数学は40年前は現在よりも
>すこしレベルが高かったようです。
>
>高校進学率が高まり、高校生の学力レベルが下がったので、
>そうした事情に合わせて
>学習指導要領が変更されたのでしょうが、
>いつ変ったのでしょう？

1974年当時の高校数学のカリキュラムは、1972年度から実施された学習指導要領（1981年度まで）のカリキュラムだと思われます。ちょうど私が小学校から高校に在学していた時期に該当します。当時のカリキュラムを実際に体験した児童･生徒の頃の記憶をもとに情報提供させていただきます。

小学校の算数のカリキュラムの特徴は以下のようなものであり、現在よりも分量が多く、概ね１年ほど進んでいたと思います。特筆すべきは、小４で集合を取り扱っていたことでしょうか。

　小２：分数
　小３：分数の足し算・引き算、小数
　小４：分数の通分・仮分数･帯分数、集合（！）
　小５：分数のかけ算・割り算
　小６：文字式、比

集合は、中１でも扱っておりました。ド･モルガンの法則を中１で習った記憶があります。現在は高校数学の範囲になっている不等式も連立方程式と一緒に中２でやりました。
　中１：集合、統計
　中２：不等式、確率

注意しなければならないのは、1977年度に公表された1982年度から実施予定の新･学習指導要領との接続のため、1978年度より「移行措置」がとられたことです。この移行措置により、一部の学習領域が、新課程のもとでの上級年次へ移行されました（数学以外では理科において「移行措置」が目立ちました）。

その結果、1978年度より、中１の「統計」と中２での「確率」が新課程での「確率･統計」(旧課程での「数学Ⅲ」の一部に相当)に移行されました。

旧課程での高校数学は、数学Ⅰ→数学ⅡB→数学Ⅲでしたが、新課程では数学Ⅰ→代数･幾何＋基礎解析→微分積分＋確率･統計となりました。

新･数学Ⅰは、旧数学Ⅰから確率（「確率･統計」へ移行）、三角関数・指数関数・対数関数（「基礎解析」へ移行）、平面ベクトル（「代数･幾何」へ移行）を取り除いたものとなり、かなり軽量化されました。その反面、新課程の「代数･幾何」＋「基礎解析」（旧・数学ⅡBに相当）は、以前よりボリューム･アップされたことになります。

共通一次の数学は、旧課程下では数学Ⅰが試験範囲でしたが、新課程下では数学Ⅰ＋代数･幾何＋基礎解析となり、旧課程のときよりも試験範囲は広がりました。


1972年度学習指導要領から1982年度学習指導要領への移行の際には、学ぶ時期を移行させただけで、小学校から高等学校までの数学の学習領域自体は、あまり変わらなかったと思います。

おそらくは、1982年学習指導要領から1992年学習指導要領への移行の際、あるいは1992年学習指導要領から2002年学習指導要領への移行の際に、数学の学習領域が減らされたと思われます。2002年学習指導要領が、いわゆる「ゆとり教育」の学習指導要領ですから、後者の時期に大きく変わったのではなかろうか、というのが私の推測です。

ご参考になれば、幸いです。

by ふくろう (2013-08-16 16:01) 

ふくろうさん、40年間の変遷の解説ありがとうございます。

こうして眺めてみると、ずいぶん弄繰り回した感がありますね。
集合を小4で扱ったり、中学校でド･モルガンの法則を教えたり、群・環・体など集合論から数学を整理してみたり、試行錯誤だらけ。
一時は集合論が学校数学にずいぶん取り入れられていました。
ブルバキの数学原論がそうした立場から現代数学の体系化であったために、学校教育まで影響したのでしょう。

こうした方法には大数学者の岡潔もフィールズ賞受賞者の小平邦夫も反対だったようです。数学の体系化と学校で教える順序は別、おおむね歴史的な順序でいいという意見だったように記憶します。
集合論や記号論理学は必要がでてからやればいい。特に後者は大学生になってからでいいのでしょう。

高校数学は分野が広いので、7時間授業の学校あるいはコースがあってもいいのではないかと思います。もちろん、ブカツの時間がその分削られますが、それはそれでいい。
現行の制度は画一的で生徒に選択の自由がありません。どういうことかというと、文系コースで数Ⅲや数Cの選択ができないとか、物理の選択ができないということです。物理の選択ができないと数学の力の伸びが半減します。文系理系を問わず、古典の授業時間数を増やしたり、哲学を必修科目にしたりできたら素晴らしい。古典には美しい日本語が満載ですし、哲学は思考力を鍛えます。
7時間授業の学校、あるいはコースを創り、勉強したい高校生には存分に勉強させてやるぐらいの余裕がほしいと思います。

いま企業で一番要求されている人材は文科系でありながら理系科目も自在にこなせる者でしょう。現実に出てくる困難な問題は文系・理系の区別がないのですから、その解決には両方の分野が一つの人格に統合されているのがもっとも望ましい状況なのでしょう。

40年間の小中高の数学の変遷を整理していただきありがとうございます。ebisuにもだいぶんわけが分かりました。
by ebisu (2013-08-16 22:58) 

記事とコメント、拝見いたしました。
1979年生まれなので、中学、高校でほとんど統計学を習っていない世代です。

中学の技術家庭科でコンピューターの基礎と利用の仕方が必須になったので、中学で表計算ソフトを使った実習を通して教えてもいいのではないかと思います。

その他記事やふくろうさんのコメントを拝見させていただき、勉強になりました。
by ペトロナス (2013-08-23 00:29) 

ペトロナスさんへ

1979年生まれでしたか、わたしとは30年違います。
働き盛りですね。

そして素敵な数学ブログですね。
受験生の皆さん、訪問してみてください。

http://blogs.yahoo.co.jp/east201110


by ebisu (2013-08-23 01:03)