#4771 模試数学過去問（図形）：生徒の質問 June 17, 2022 [52-2 生徒の質問]
ベネッセ模試が6/25に予定されているので、1年生から図形の問題で質問があった。昨年度分はやったので、たぶん一昨年の問題かな。「大問３」の問題であった。昨年の「大問３」は図形ではない一次不等式の文章題だった。ここが全問正解できた生徒は得点が70点を軽く超えるだろう。「大問４」の3問の内2問できたら15点ゲットで80点に届く。昨年は全国平均が34点、標準偏差が18点だから、70点だと偏差値70である。根室高校ならダントツ学年トップになれる。
（配点は「大問１」が計算問題、「大問２」も計算問題だが「大問1」より難易度が高い。それぞれ25点の配点だ。ここまで1問ミスしただけなら45点獲得できる。そしてここで25点獲得だと70点。そして「大問４」で2題正解すれば80点に届く）
「大問３」は1次不等式の文章題だが、もってきたプリントは図形問題に絡む一次不等式の文章題である。高校入試の難関校で出題されるレベルの問題、良問だった。
条件を書きだすと、△ABCは、AB=10､BC＝8、CA＝6の直角三角形。
AD=6、BE=6となるようにD点とE点をとる。
点P、Q、RはそれぞれA、D、Eを同時に、毎秒1の速度で反時計回りに進む。
x秒後の△PQRの面積をｙとするとき、次の問に答えよ。
（１）x=2のとき、yの値を求めよ。
（２）０≦ｘ≦２のとき、yをxを用いて表せ。
（３）０≦ｘ≦４のとき、ｙ≦12となるようなｘの範囲を求めよ。
問題文を眺めて、図を確認して、どこか特殊なところがないか漠然と考える。△PQRは辺PQが一定であることがわかればPQ=6で高さが伸び縮みする直角三角形の面積問題である。したがって、高さだけが変化するから1次関数だとわかる。図形イメージを頭の中で操作するのに女子は苦手だから、そういう操作を頭の中でできる男子に有利な問題である。そこまでとらえたら、次のステップは具体的な解法に"アタリ"をつけることだ。
もう一つ「アタリ」をつけてみよう。（１）の問題を条件通りのPQRの点に線を引いて結んでみよう。その面積は△ABCの半分よりも少し大きいことが見て取れる。ここが肝心で、答えを出した後、△ABCの面積24の半分の12より少し大きくなっていたら正解だ。そうでなければもう一度計算手順を見直す必要がある。
（１）にはふたつの解法がありそうだ。①引き算で求める、もう一つは②点RからPQへの垂線を下ろして、辺PQに対する高さを相似比で求まるやり方である。後者の方がスマートそうだ。
①でやると、△ABC＝（△QBR+△ACP）で求められる。これもそれぞれの三角形は相似比を利用して求める。答えは72/5である。
②でやると、△PQRの辺PQ（PQ=6で一定）を底辺としたときの高さｈは相似比を利用して次のように求められる。
10:6=（6+x):h ⇒ h=3/5*（6+x）
△PQR=1/2*6*3/5*(6+x)=9/5*x+54/5
f(2)=72/5
（２）は①の方法でやると、x=0のときの面積を引き算で求めて、ついでx=2のときの面積を引き算で求めると、x,yの組が二つできるので、2点を結ぶ直線の方程式を求めたらいい。
②の方法なら、計算途中で式が出ている。
y1=9/5*x+54/5
（３）Rが辺CA上にある時の、△PQRの面積を辺PQを底辺としたときの高さhは相似比で求められる。
AR:h=10:8 AR=8-xを代入すると、(8-x):h=10:8を計算して、
h=4/5*（8-x）
△PQR=1/2*6*4/5*(8-x)=-12/5*x+96/5
y2＝-12/5*x+96/5
次の不等式を解いて
12≦9/5*x+54/5より 2/3≦x
12≦-12/5*x+96/5 x≦3
条件を満たすxの範囲は
2/3≦x≦3
時間内にスマートに解くには、PQ=6で一定だということに気がつけばOKですね。あとはPQを底辺としたときの高さを相似比を利用して求めたら、スラスラ解けます。
（配点は「大問１」が計算問題、「大問２」も計算問題だが「大問1」より難易度が高い。それぞれ25点の配点だ。ここまで1問ミスしただけなら45点獲得できる。そしてここで25点獲得だと70点。そして「大問４」で2題正解すれば80点に届く）
「大問３」は1次不等式の文章題だが、もってきたプリントは図形問題に絡む一次不等式の文章題である。高校入試の難関校で出題されるレベルの問題、良問だった。
条件を書きだすと、△ABCは、AB=10､BC＝8、CA＝6の直角三角形。
AD=6、BE=6となるようにD点とE点をとる。
点P、Q、RはそれぞれA、D、Eを同時に、毎秒1の速度で反時計回りに進む。
x秒後の△PQRの面積をｙとするとき、次の問に答えよ。
（１）x=2のとき、yの値を求めよ。
（２）０≦ｘ≦２のとき、yをxを用いて表せ。
（３）０≦ｘ≦４のとき、ｙ≦12となるようなｘの範囲を求めよ。
問題文を眺めて、図を確認して、どこか特殊なところがないか漠然と考える。△PQRは辺PQが一定であることがわかればPQ=6で高さが伸び縮みする直角三角形の面積問題である。したがって、高さだけが変化するから1次関数だとわかる。図形イメージを頭の中で操作するのに女子は苦手だから、そういう操作を頭の中でできる男子に有利な問題である。そこまでとらえたら、次のステップは具体的な解法に"アタリ"をつけることだ。
もう一つ「アタリ」をつけてみよう。（１）の問題を条件通りのPQRの点に線を引いて結んでみよう。その面積は△ABCの半分よりも少し大きいことが見て取れる。ここが肝心で、答えを出した後、△ABCの面積24の半分の12より少し大きくなっていたら正解だ。そうでなければもう一度計算手順を見直す必要がある。
（１）にはふたつの解法がありそうだ。①引き算で求める、もう一つは②点RからPQへの垂線を下ろして、辺PQに対する高さを相似比で求まるやり方である。後者の方がスマートそうだ。
①でやると、△ABC＝（△QBR+△ACP）で求められる。これもそれぞれの三角形は相似比を利用して求める。答えは72/5である。
②でやると、△PQRの辺PQ（PQ=6で一定）を底辺としたときの高さｈは相似比を利用して次のように求められる。
10:6=（6+x):h ⇒ h=3/5*（6+x）
△PQR=1/2*6*3/5*(6+x)=9/5*x+54/5
f(2)=72/5
（２）は①の方法でやると、x=0のときの面積を引き算で求めて、ついでx=2のときの面積を引き算で求めると、x,yの組が二つできるので、2点を結ぶ直線の方程式を求めたらいい。
②の方法なら、計算途中で式が出ている。
y1=9/5*x+54/5
（３）Rが辺CA上にある時の、△PQRの面積を辺PQを底辺としたときの高さhは相似比で求められる。
AR:h=10:8 AR=8-xを代入すると、(8-x):h=10:8を計算して、
h=4/5*（8-x）
△PQR=1/2*6*4/5*(8-x)=-12/5*x+96/5
y2＝-12/5*x+96/5
次の不等式を解いて
12≦9/5*x+54/5より 2/3≦x
12≦-12/5*x+96/5 x≦3
条件を満たすxの範囲は
2/3≦x≦3
時間内にスマートに解くには、PQ=6で一定だということに気がつけばOKですね。あとはPQを底辺としたときの高さを相似比を利用して求めたら、スラスラ解けます。
高校受験の「相似な図形」の知識で解ける問題でした。高1の6月でこの問題をスラスラ解ける人は『シリウス』シリーズと同等の難易度の問題集を使用して3年間勉強してきた人、ということになりそうですね。偏差値65以上。
札幌光星高校へ今年進学したKH君は解けますね、半年シリウスでやりましたから。根室高校へ進学した1年生でこれを時間内に解ける生徒はいないでしょう。そういう難易度の問題集やった人がいないというだけのことですよ、いまからやったらいいのです。いま『シリウス数Ⅰ』『シリウス数A』で勉強している1年生が8人います。難関大学への進学なら全問題やる必要があります。3人はそういう生徒です。根室高校生のみなさん頑張ってください。
本音を言うと、この3人は小学校4年からやり直してもらいたい。（笑）楽勝で北大合格出来た生徒です。高校スタートのハンディは大きい、さて間に合うかどうか、ドキドキワクワクです。
根室高校から旭川医大へ昨年現役合格した生徒は、高1の7月にはこの2冊、全問題踏破してました。8月から数Ⅱと数Bをやっていました。数Ⅱと数Bは量が多いので全問題やるのに15か月かかったかな、2年生の11月くらいから数Ⅲ始めてました。時間をかけてだけのことはあり、模試で数ⅡBは98点とってました。ベネッセ模試では解けない問題ありませんでしたね。河合塾模試が学力相応でしたね。ゼット会「アドバンスト模試」が一番難易度が高かった。英語の問題もってきてときどき質問してました。結構難しかった。
にほんブログ村
札幌光星高校へ今年進学したKH君は解けますね、半年シリウスでやりましたから。根室高校へ進学した1年生でこれを時間内に解ける生徒はいないでしょう。そういう難易度の問題集やった人がいないというだけのことですよ、いまからやったらいいのです。いま『シリウス数Ⅰ』『シリウス数A』で勉強している1年生が8人います。難関大学への進学なら全問題やる必要があります。3人はそういう生徒です。根室高校生のみなさん頑張ってください。
本音を言うと、この3人は小学校4年からやり直してもらいたい。（笑）楽勝で北大合格出来た生徒です。高校スタートのハンディは大きい、さて間に合うかどうか、ドキドキワクワクです。
根室高校から旭川医大へ昨年現役合格した生徒は、高1の7月にはこの2冊、全問題踏破してました。8月から数Ⅱと数Bをやっていました。数Ⅱと数Bは量が多いので全問題やるのに15か月かかったかな、2年生の11月くらいから数Ⅲ始めてました。時間をかけてだけのことはあり、模試で数ⅡBは98点とってました。ベネッセ模試では解けない問題ありませんでしたね。河合塾模試が学力相応でしたね。ゼット会「アドバンスト模試」が一番難易度が高かった。英語の問題もってきてときどき質問してました。結構難しかった。
にほんブログ村
2022-06-17 11:35
nice!(0)
コメント(0)
コメント 0