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5/21 朝10時半 学習戦略、「イメージでサーチしてから計算」について追記
狭い庭が桜の花びらを敷き詰めて華やいでいます。昨日満開になった桜がもう散り始めました。極東の桜の命は短く、それゆえいっそう美しい。アッツ島の桜はまだ紅い蕾のままです。
昨日の最低気温は6.9度、最高気温は19.1度、極東の根室も、この数日急に暖かくなりました。
１．不等式の問題
生徒が昨日、標記過去問（？）をもってきた。「統一模試」といっていたが、「河合塾全統模試」だろうかそれとも「駿台全国模試」だろうか。
解答をもってくるのを忘れたといいながら、生徒はホワイトボードに計算問題を書いた。こういう問題だったと思う。
(tan x -√3)(tan x -1/√3)<0, 0<x<π/2
やり方がわからないというので、とりあえず自分でできる範囲で式の操作をしてみたらと指示した。この式から何を感じ、何を読みとるのだろう？
取っ掛りで基本的な計算ミスがあったので、そこから復習。三角関数の問題をこの数ヶ月まったくやっていなかったのではないかと疑わせるミスだったが、問題の解きかたがわからないのでパニクッたのだろう。勘違いは誰にでもある、括弧を外したところで手が止まった、しばらく考えている。
「「tan x=t」とおいて見やすくしたら？」
先を促す、やってみないと気がつかないことはあるものだ、やらせてみたら自分で気がつく。展開してもどうにもならない、計算操作は展開では行き止まりだ、そこで助け舟。
「展開してすぐに暗礁に乗り上げたから、その方法ではダメなようだね、そういうときはもう一度最初に戻って問題を眺めたら？問題（文あるいは式）の中に解き方が隠されているよ」
受験問題というのは正解があるから、そこにいたる手がかりが問題文や式の中に必ず埋め込まれている。ビジネスの世界で正解のない問題を扱うことに比べたらとっても楽チン♪
数分まってみたが、気がつかないようだからイメージ解説しながらヒントを出す。
定義域からtan x は第一象限でプラス。値は0から無限大だ、単位円とx=1の直線を立てた図をイメージしたらいい。円の中心からその線に向かって引いた線の当たった位置がtan xの値だ。仰角がπ/2に近づくとどんどん上に行って無限大に発散してしまうだろう？仰角がπ/2のところでは平行線になるから永遠に交わらない。そこまでイメージできたら、もう一度問題の不等式を眺めよう。
数学は動画イメージや静止画イメージを脳内に展開できたら断然有利になるから、自分の脳をトレーニングすべきだ。たとえば、3次元静止画イメージを視点を動かして眺められたら、立体の断面の形状はすぐに判断がつく。CTスキャンのようにスライス位置を変えながら断層撮影画像を思い浮かべてみたらいいのである。慣れです。
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稼業のビリヤードを小学生のときから手伝っていたので、そういう技が知らない間に身についていました。それに気がついたのは中学生のときでした。あたりまえだと思っていましたが、勉強に使ってみたら大きな効果がありました。ビリヤード場が遊び場でもあったので、毎日がイメージトレーニング修行になったのです。偶然のチャンスというのは不思議なもので、それが必然であるかのように人生の要所要所にちゃんと配置されています。
脳内で無限にビリヤード・ゲームが続けられる人はビリヤードファンには少なくないと思います。稼業をよく手伝い、よく遊べ、そこから得られるものは大きいといえそうです。（笑）
哲学的な概念や経済学的な概念も、高校生の頃には脳内に複数の概念を共存させて関連付けることが習慣になっていました。でも、そのイメージを他の人に伝えるのは至難の技です。言葉を介して相手の脳内に同じイメージをつくれなければならないのですから、語彙力や表現力が追いついてゆかずほとんど不可能に思いました。
修士論文を書いた頃は、それまでの経済学説を根底からひっくり返してしまうところまでイメージができあがってしまっていたのにそれを表現する術がないし、ひっくり返したあとに打ち立てるべき新しい経済学がどのようなものなのか見当がつかなかったのです。公理系を入れ替えると新しい経済学ができることだけはわかっていました。だがその別の公理系がどのようなものであるかは西洋経済学と価値観に染まったわたしにはまったく手がかりなしでした。新しい公理系＝学の端緒を探索するために、自分の脳に蓄積された知識をいったんリセットする必要に迫られていました。修士論文を書いた後に大学へ残る道を断念したのはそういう事情もありました。東洋と日本への回帰が始まりました。30歳代になって次第に初期仏教経典群と日本の伝統文化へ興味が移っていったのです。異なる業種の企業（紳士服製造卸業、軍事用・産業用エレクトロニクス輸入商社（店頭公開）、国内最大手臨床検査会社（一部上場）、病院常務理事（300ベッド弱の療養型）、上場準備中の外食産業）で仕事をすることで、共通する日本的な仕事観の特異性に気がつきました。ついに新しい経済学の公理系を見つけたのです。大学に残って学者の道を歩んでいたら見つけられなかった。余計な話ですね。
*#3217 日本の商道徳と原始仏教経典 Jan. 7, 2015 [資本論と21世紀の経済学（2版）]
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2016-01-06
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こんなときは式を分解して考えたらよい。都合のよいことに括弧で二つに分かれている、そこに出題者の親切心が感じられるなら楽勝だ。
デカルトの「科学の方法四つの規則」の２番目の条の出番です。
「第二は、わたしが検討する難問の一つ一つを、できるだけ多くの、しかも問題をよりよく解くために必要なだけの小部分に分割すること」 ・・・ワイド版岩波文庫『方法序説』p.29
（マイナス）×（プラス）<0
（プラス）×（マイナス）<0
(1) tan x - √3<0 ∩ tan x - 1/√3>0
(2) tan x - √3>0 ∩ tan x - 1/√3<0
手がかりを見つけられずにむずかしく見えていた問題だが、二つの部分に分解しただけで単なる１次不等式の問題に還元できます。
単位円をイメージできれば、共通領域のあるのは(1)のほうであることがすぐにわかるから、イメージ操作に慣れていたほうがよい。計算はイメージ操作でえられた結果を確認するだけ。「tan x=√3」は「x=π/6」だから、不等号から判断して下側である。同様にして「tan x=1/√3」は「x=π/6」で、不等号から判断してその上側であることがわかる。あとは筆算して、紙に図を描いて確認すればよい。
イメージがつくれなければ、両方計算して図に描いてみるといい。描いた後で、上記の不等式から図をイメージする訓練をしてみよう。(2)の不等式に共通領域がないことも単位円の座標イメージですぐに確認できる。
計算に頼る前にイメージ操作で正解をサーチする習慣を育てよう。イメージが先で、筆算が後だと、ケアレスミスは格段に減少します。答えの方向や範囲に見当がついているので、計算結果が大まかな予測と違うときは、すぐにチェックできます。
生徒は単純化した式を見て、すっと解いていた。これで、この問題は終わり。
<わかっただけではダメ、その後のトレーニングで知識の統合を図れ>
なぜこのような基本問題ができなかったかというと、この生徒は教科書準拠問題集「3トライアル」のB問題をほとんどやっていないから、ちっとも不思議ではなく、あたりまえの話。各章別に問題をやっていたときにはできるが、総合問題の中で出てくると途端にできなくなる生徒がたまにいる。章別の問題をやっているときは、どの公式を使えばよいかはっきりしているから簡単なのだ。模試ではさまざまな分野が出題されるから、問題を見てどの基本公式が関わりがあるのか、その都度判断しなければならない。その判断力が育たず基本公式の利用に慣れていないのは、複合問題を解くことで育つ知識の統合がなされていないからだろう。基本知識の統合は複合問題をやることで身につく。複数分野にかかわりのある問題は、利用すべき基本公式が数個関わることになるから、どの分野のどの基本公式を利用すべきか、知識の統合力をを問う。
章別に学習したそれぞれの基本公式群の知識統合は、目標を立て複合問題の戦略的な学習が効果的である。いつまでにどんなレベルの問題集を使ってどのような学習をすればよいのか具体的にプランを練って学習を進めたらよい。
よい本があるから紹介したい。『総合力アップのためのガイドブック 夢こそ生きる力』には、進路設定とそこへいたる戦略が簡便な言葉で具体的に書かれているから、読んでみたらいい。#3277で採り上げているので、URLを書いておく。
*#3277 進路選択と就活のために： 『夢こそ生きる力』 Apr. 29, 2016
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2016-04-29
A問題と学校の授業で採り上げたB問題しかこの生徒はやっていないので、問題練習量不足。
大学受験をするのに、何をいつまでにしないといけないのか、戦略スケジュールがいまだにない。先々週、「苦手の英語の勉強を開始しないと受験に間に合わないよ、3ヶ月間最初は毎日1時間でいいからおいで」と伝えたら、先週は来たが、今週は昨日がはじめて。気まぐれで続かない。3月にも時事英語を読む特訓を始めたが3日くらいで沈没。来ない言い訳はいくらでもできるから、耳から入れて聞き流すだけ。これ以上は自己責任と考えるしかない。こういう生徒たちをみていると塾は必要ないのかもしれないと思う。でも、しっかりやる生徒もいるし、わがままな生徒も時間をかければ変わることがあるから塾稼業は楽しい。この生徒が目覚める運命にあるなら、そろそろ目覚めるはずだ。
4月から来た中2の生徒が、昨日、「英語の本文テストで満点取れました」、その前の月曜日には「苦手の社会の単元テストが満点でした、クラスで3人だけ」と、誇らしげな表情だった。メンコイものです。
<補習に対する都会との意識のギャップ>
東京の個別指導の進学塾で、「毎日来ていいよ（追加授業料はなし=ただ）」と伝えたら、100％ちゃんと来る。親は大喜びで子どもを塾へ送り出す。授業料は根室の2～5倍だし、「毎日来てよい」なら通常授業時間の3倍になるから、とんでもなくお得な申し出になる。40年前に東京渋谷の個人指導進学教室の授業料は週2回各105分授業で3万円だった、1対1だと5万円。1975年の大卒初任給が9.1万円だから現在の貨幣価値への換算はおよそ2.3倍、7万円の授業料ということになる、東京渋谷駅前の個人指導塾の授業料はずいぶん高かった。
先生たちの2/3は大学院生、学卒の先生は東京教育大、東大、慶応、早稲田の４大学のみだった。
ところが無料補習も根室の子どもたちにはありがたくないケースの方が多いようだ。ちゃんと来る生徒は珍しい。家でゲームをしたり、ラインやツイッターでチャットしているほうが楽しいのである。塾の補習授業でそうした時間を削られるのは迷惑千万、親に言われて「塾に行ってやっている」くらいのつもりの生徒には、「暖簾に腕押し」「糠に釘」「馬の耳に念仏」「猫に小判」である。親に感謝の気持ちが出てこないようでは、人間としても「？マーク」がつくよ。
<自立心を育てるには？>
難関大学受験ではなくても、「青チャート」くらいは独力でやろう、わからないところだけ質問すればいい。
どうしてこのように子どもっぽくて自立心のない高校生が増えているのだろう？高校でも毎週のように数学の宿題プリントを出すから、それをやっていればいいのだと、自立心や自主性を奪っている気がする。この8年間で市街化地域3中学校で学力上位層が絶滅しかかっていることを考えると、進学実績を維持するために宿題を出さざるをえない事情もよくわかる。
しかし、それも来年の高校統廃合を契機に破綻することになるだろう。
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２．対数計算問題
次の対数問題も基本公式の応用ができなかった。ボケてきてはいるが、やった問題は1日ぐらいは覚えていられるものもある。（笑）
log2(x+1)=log4(2-x) + 1
log2(x+1) は log2 x のグラフをx軸方向にプラス1だけ平行移動したグラフだ、問題を見たら、グラフのイメージぐらいは頭に浮かべて輪郭を押さえておきたい。同じ底の対数の和は真数のかけ算の形に変換できるが、log2(x+1) にはそういう変換が適用できないよ。真数が多項式のときはそのまま缶詰と考えて一つの文字（単項式）だと考えよう。ここで考え違いが一つ発生していた。基本公式が自分流にぐにゃりと変形して拡張されていた。だから、もう一度教科書に戻って基本公式の復習しながら意味理解と使い方のお勉強をしておく。
底変換の公式で等式の右辺の2項の底をそろえてやればいい。その後は真数を=でつないでxについての2次方程式にもっていけばよいだけの、これも基本問題。
対数の問題は真数条件を確認しておくこと。
全部の項の底を揃えるように指示したのだが、「+1」を底が2の対数に変換するのを忘れていたので、チェックをいれる。どこへ行き着くのか、行き先が見えていなかったってこと。
log2(x+1)=1/2 log2(2-x) + log22
log2(x+1)= log2(2-x)^(1/2) + log22
log2(x+1)=log2(2-x)^(1/2)・2
真数条件より両辺はともに正だから、両辺を２乗しても統合が成り立つ。
(x+1)^2=(2-x)4
x^2+6x-7=0
(x+7)(x-1)=0
真数条件より、-1<x<2 だから、
x=1
教科書の該当箇所を調べさせ、公式を一つ一つ内容確認と使い方の確認をしながらやってもらったので、２題で1.5時間かかった。わからなくなったら、「原理原則に還る」のがベスト、教科書に戻って基本事項を必ず確認しよう。「青チャート」の半分以上は自力でやらないと力がつかないから、わからなくなったときの対処の仕方を教えておかないといけない。そろそろ本気で勉強しよう、のんびりしすぎだよ。（苦笑）
<自分に負けるな！>
この生徒は、先週やった数Ⅲ「複素数平面」の章別テストでは5題全問正解しているから、よくやったとほめた。最初のうちは複素平面に手こずっていたので、全問正解はビックリポン。一時β1クラスに落ちたことはあるが、ほとんど最上位のγ（ガンマ）クラスだから、平均よりは数学ができる生徒だと判断してよい。しかし、時間がたつと基本公式の輪郭がぼやけ、頭の中でぐにゃっと変形してしまう。まるで違った計算ルールに置き換わってしまうことが少なくないから、しばしば基本に戻って説明が必要になる。授業で扱っている章が終わった後にトレーニングをしっかり積んで、基本公式の使い方を身体に染み込ませていれば防げるのだが、その都度やれない言い訳が並ぶ。これが癖になったら、社会人になったときに大きな問題を起こす。
企業は言い訳を言ってもらうために給料を支払うのではなく、どうすればやれるのかにお金を支払っているのである。普段やっていることを軽視してはならない、繰り返すことで習慣となり、それは数年で性格になってしまう。何かあるたびに言い訳を口にしたら、「あいつはそういう性格の奴だから」と信用をなくし、職も失う。
結果から見ると、復習トレーニング（数Ⅱ）を春休みにしていなかったということだ。冬休みに続いて春休みの大事な2週間をロスしてしまった。
<魔の3ヶ月：6～8月>
夏休み終了までに数ⅠAと数ⅡBの「青チャート」をやらないといけないが、根室高校には前期中間テスト（5/31～）の後に、スポーツ大会や学校祭がまっている。学校祭はクラス対抗だから、催し物や仮装ダンスの準備と練習で6月いっぱいは受験勉強に手がつかない。魔の6月である。毎年金刀比羅神社のお祭りに出ている者は7月半ばから練習が始まるし、根室は7月13日からお盆である。盆踊りや花火大会、港レースがあって、青春の思いでつくりが加わり、8月9･10･11日の例大祭が終わるまで、心ウキウキ、勉強が手につかぬ。これを読んでいる、「むかし根室っ子」のあなたもウキウキした記憶があるだろう。
都会で勉強している受験生たちと大きな差がつく6・7・8の3ヶ月なのである。
さて、本気で勉強できれば、まだ受験は何とかなる。魔の３ヶ月を魔物にとり憑かれて過ごしたら、進学する大学のランクをがっくり落とすことになる。BF（ボーダフリ-）の大学ではお金を出すご両親に申し訳ないとは思わないか？あとは本人の自覚だけ。
やらなければならないのは数学だけでない、もっと苦手な英語もあるのだから、これ以上逃げていたら時間切れとなる。
<中学生のときに生徒たちに全国レベルを知らしめたい>
根室の受験生のほとんどがのんびりしている。中学校で全国レベルでの自分の偏差値を知ることがないから、わけがわからぬままに高校1年目が過ぎ、スタートが遅れて取り返しがつかないことになりがちである。都会の子どもたちは、小４から受験勉強をスタートさせる。根室の子どもたちは高校２年生になってからだ。え、根室高校へ入学するのに受験勉強をしているって？偏差値42-45の高校だから、そういうのって日本の標準的な尺度では受験勉強とはいわない。大学受験なら偏差値40だからね。BF大学へ合格するために受験勉強したっていうようなものです。
有名私立中・高一貫校⇒難関大学
公立中学⇒都立進学校（毎年東大合格者５名以上）⇒難関大学
有名私立中高一貫校へ合格するには4年生から個別指導塾へ通うのが標準コースだし、公立中学校から都立進学校へ合格するには進学塾の特進クラスで勉強するのがスタンダード。いずれも、小4から予習方式で1年～2年先取り学習をしている。根室では高校生になってから予習方式に切り替える生徒が多い。小・中学校でつけた癖が治らず、ずっと復習方式でやっている生徒が半分を超えている。
*#3295 定期テストで全国レベルの高さを教えよう May19、2016
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2016-05-19
<根室で成績上位層が消滅しつつあるのはなぜ？>
じつにのんびりしている根室の子どもたちの実態を書いた。もちろん、少数の例外があることはいうまでもない。優秀な生徒は根室にも一定数いるのだが、学力テスト結果をみているとその数が激減していることがわかる。学力テスト400点超の成績上位層は市街化地域3校合計で8年前の1/4に減少し、いまや絶滅危惧種と化しつつある。
外でたくさん遊び、好きなことに熱中しての結果なら、それはそれで大歓迎。道内一のゲーマになるもよし、ユウチューバーになるもよし、岸辺の浅いところにある流氷にも乗ってみて危険を身体で感じてみるもよし、吹雪の中を花咲小学校前の広い通りを横切ればホワイトアウトで自分がどこにいるかわからなくなる、命の危険をびんびん感じながら、もっと、もっと遊べ！
遊びで第六感を磨いておけば、社会人になってからも決定的な危険だけは避けられるだろう。
勉強やる奴はやれ！徹底的にやったらいい。受験勉強なんてケチな範囲に限定するな、受験勉強を超えてトコトンやればいい。いろんなタイプの人間が存在してこそ、経済社会は安定する。
条件が過酷になれば異色の人材が輩出することになるから、まあ、これはこれ、それはそれでいいのだろう。
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『総合力アップのためのガイドブック 夢こそ生きる力』
原作小寺次夫、編集鈴木朗、イラスト鈴木萌花（高校1年生）、2016年4月15日発行、
出版社「星奈のお店」、本体1200円＋消費税
ISBN978-4-9908905-0-6
*http://www.seina-shop.com/
http://www.seina-shop.com/service/book.html