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#5295 数学的思考を育む:問題集『シリウス数学』から Oct. 2, 2024   [51. 数学のセンス]

 塾専用教材に、育伸社のシリウスシリーズがあります。偏差値65以上の高校受験を目指している生徒の独習用問題集に向いています。

 『シリウス数学(中1)』に次のような問題が載っています。
*シリウスは塾専用教材ですから出版元の育伸社から購入できません(メルカリで手に入るかも)。
DSCN7643ss.jpg

4.碁石をいくつか並べて正方形をつくる。ただし、1辺に並ぶ碁石の個数は4個よりも多いものとする。次に正方形の1辺の個数ずつ下の段から並べ直す。例えば、1辺に6個の碁石が並んでいる場合は図のようになる。
正方形の1辺の碁石の個数をn個とするとき、並べ直した後の碁石の並び方はどうなるか。
その段数と、最上段の個数を求めなさい。

 まず、使われている碁石の数を考えよう。1辺が6個の場合は、6×4とやると四隅の碁石が2回カウントされるので、「6×4-4」で求めることができます。これは集合の規則「A∪B=A+B-A∩B」を利用したものです。
 また、「6×4-4=(6-1)×4」です。この変形された式の意味するところは、(6-1)=5、5個の碁石を4組並べてその和を求めたものです。
 6をnに置き換えると、一般項が求められます。「4n-4=4(n-1)」。
 7個の場合について確認すると「4(7-1)」=24個で、図を描いてみると合致しています。
 これは等差数列の一般項を求める問題に読み替えることができます。

 次に、何段かという問題は、剰余系の問題に読み替えることができます。碁石の合計数をnで割ったときの商が段数、余りが最上段の個数になります。

 この問題は中1で、方程式の章の直前にある文字式をつくる文章題のところ、p.79にある問題です。
 中1年生には難問ですが、高校数学の基礎を知っていたら基本問題にすぎません。

 使われる碁石の数nは公差4の等差数列であることは、1辺が5個の場合と6個の場合と7個の場合を描いて数字を並べてみたらわかります。具体的な数字の規則的変化から帰納的に推論できます。それをnを使って一般項で表すだけ。剰余系は割り算を知っていたら、考え方の基本は小学生にも5~10分で理解できます。興味があったら、ネットで検索して解説を読んだり、ユーチューブ動画で解説を見たらいい。こちらは、きっかけを作ってやるだけ。好奇心が強ければ食いついてきます(笑)

 この問題で指導上の要点は、6個の前後の数字を数え、並べて、規則性を見つけること。つまり、
①帰納的推論に慣れること。
②式が違えば、理解の仕方も違うということを発見させること。解き方、アプローチの仕方はいくらでもあることに気がつきます。
③成績上位層の生徒には集合や剰余系の基本を教えてしまうこと。

 昨年、千葉大学名誉教授の夏目雄平先生が、新入生対象の物理学の講義動画作成して、事前にFBで友達限定で公開していたことがありました。式を変形させるごとに、その式に物理的な意味が付与される説明がされていました。数学の式変形にもこの考え方は応用できるようですね。
 こういう思考様式に小学生のときから慣れ親しむのが好いのです。数学の問題を解くことを通じて、思索を深めるトレーニングになります。
*#3509 数学のセンス(2):「同型性」と「拡張」⇒どのように考えるのか Feb. 19, 2017
*#3507 数学のセンス(1):数字に表れる美への感動がセンスを育てる Feb. 16, 2017 
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-02-15-1
 シリウスシリーズで中1~中3までの問題を全問解けば、半数の生徒は都立高校なら90±5点の得点ができるでしょう。成績が中の上くらいでは、この問題集全問制覇は無理です。問題の難易度が高いだけでなく、問題量が多い。計算問題も難易度の高いものが並んでいるので、計算トレーニングに最適です。大学入試では15%くらいは計算力を問う問題が出てきます。

 さて、小学校卒業までに中2の数学を消化し、中学卒業までに数ⅡBを終了できれば、高校1年で数Ⅲと数Cを消化できます。数学入試共通テストで高校1年生の時に180点超が目標。深い理解がありますから、受験用の難易度の高い問題集に高校2年生の四月からチャレンジできます。高2のときには国立大学入試2次試験の数学問題解説動画もそれほど困難を感じずに理解できるでしょう。文科系へ進学する人も、数Ⅲと数Cは勉強しておいた方がいい。社会人になったら、難易度の高い仕事は、文系・理系両方の専門知識とそれらを自在に駆使できるスキルと智慧が必要になります。
 小学校卒業までに数検3~4級、中学卒業までに数検2級、高1で数検準1級にチャレンジ。
(3年前に、学習指導要領が新課程へ変更。数Bからベクトルが抜けて数列と統計となり、統計に仮説検定が追加。数Ⅲから2次曲線と複素平面が抜けて「極限・微分・積分」の三分野に。数学Cが復活して「複素数と平面上の曲線とベクトル」が数Ⅲと数Bから移動。*新・旧課程比較

 英語も同じペースでいいと思います。音読中心で教え、小学校卒業までに英検3~4級、中3夏に英検2級、高1で英検準1級チャレンジで十分です。たくさん音読すれば自然に英語力は増大します。音読重視で英語を学ぶと効果が大きい。
 これで、田舎の偏差値45の高校で学ぶ生徒たちでトップレベルの成績の者は、数学と英語は都会の進学校でトップレベルで走っている生徒たちと並びます。良書を選んで日本語音読トレーニングをして、国語力をアップすべきですね。これは指導が必要です。音読リストは17冊、実際の日本語音読授業で採用した本をリストアップしています。

〈日本語音読リスト〉…
*#3726 
日本語音読トレーニングのススメ:低下する学力に抗して Apr. 18,2018
https://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2018-04-18-1


 教材は、難易度の高めの中1の数学問題集ですが、ここで数学に関して書いていることは、普通の学力の小学生対象の個別指導授業を想定しています。
 人口2.2万人の極東の町で、偏差値45の地元の高校から現役で国立大医学部へ合格するには、どのような教育戦略をとればいいのか、20年間試行錯誤してみた結果を総括して、メソッドの有効性を実証したいと思っています。

<10/2アクセスの多かった弊ブログ記事>
#3332 攻めの健康法(1):木刀の素振り June 19, 2016




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