#3973 家活プリント：三角比問題 Apr. 26, 2019

　昨日（4/25）、高2の生徒が「家活プリント」をもってきた。三角比に関するセンター試験レベルの問題である。面白い問題だったのでかいつまんで紹介する。

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 △ABCがある、AB=１、BC=√2、∠B＝135°、直線BC上にAD＝√3となるように点Dをとり、直線BD上を点Pをが動くとき、△APCの外接円の半径をRの最大値と最小値を求めよ。
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　問題文がうろ覚えだったので、答えのほうから逆算して辺の長さをたしかめたからだいじょうぶだろう。

　数値を作図が示されていないところがこの問題のみそだ。ただしく作図が描ければなんとかなる。点PがBD上を動くのを動画イメージで再現できたら楽だ。
　注意しなくてはならないことがある、点Dの取り方だがBC上の左側にある場合と、右側にある場合の2通りが考えられる。∠ADBが鋭角という指示があるから、この問題の場合は直線BCの延長線上の左側だけを考慮すればよい。余裕のある生徒は、∠ADBが鋭角という指定のない場合にはどうなるか考えてもらいたい。Bの左側にDが来る場合と右側にくる場合の二通りに場合分けして考える必要がでたくる。両方を考慮しても答えは同じになるのだが、指示のある方が問題はより簡単になる。∠ADCが鈍角、つまりBの右側という指定があれば最小値はそのままだが、最大値はP=Cになるときである。

　センター試験形式の問題は解き方の手順が問題に組み込まれているのが通常だから、順に解いていけば最終問題の答えへたどり着ける。
　設問1.　線分ACの長さを求めよ
　設問2.　sin∠ABCを求めよ
　設問3.　sin∠BCAを求めよ

　設問1は△ABCの辺が二つと角度が与えられているから、余弦定理で√5であることがわかる。計算は簡単だから省略する。
　設問2は計算するまでもない。１/√2
　設問3は余弦定理で三つの辺からcos∠BCAを求めてから、「sin^2Θ＋cos^2Θ=１」へ代入して求める。
　さて、最後の問題だが「∠ADCが鋭角となるように点Dをとる」となっているからB点の左側のみを考えればよい。
　点Pが線分DB上を左から右へ向かって移動すると考えると、始点は「P=D」、終点は「P=B」である。それぞれの場合の外接円の半径を計算する始点のときの方が終点のときよりも大きい。
　Rが一番小さくなるのは、△APCの1辺が直径になるときである。それは点Pが頂点Aから直線BCへの垂線との交点の位置にくるときだから、直径は√５、半径Rは√5/2となる。Rの最大値はP=Dのとき√30/2．

　2月進研模試で数学が学年3番の生徒は最後の問題を除いて正解だった。途中から三人来て、四人で解き方を議論していたのでほうっておいた。学年3番目の生徒は図が問題文の指示通りに描けなかったので暗礁に乗り上げた。高校数学は問題文の指示通りにグラフや図が描けたら容易に正解できる問題が多い。4位の生徒が最小値の方を図を描いて解いてしまった。うれしそうだった。
　いままでの根室高校なら3年生になってから使う問題集に載っている問題である。それを2年の時にこなしたら、3年次ではセンターレベルを超える問題を消化できる。根室高校が変わりつつあるようだ、好い取り組みだね。

　複素関数は高校数学の範囲を超えているが、これは複素平面から複素平面への対応だから、四次元となりグラフイメージを描くことができない。複素数は無限級数で指数関数と三角関数が結びつく不思議な世界である。どちらも無限級数で表せる。
　オイラーの公式とオイラーの等式もそういう美しい複素数の世界を表現している。等式の左側は指数関数だが、等式の右辺は三角関数である。実数の世界ではこうはいかぬ。

　　e^iΘ＝cosΘ＋isinΘ
　　e^iπ＝－１
　オイラーの等式はオイラーの公式のΘにπを代入すると得られる。cosπ＝-1、sinπ＝０である。


*#3972　ガンマクラスの家活プリント　Apr. 24, 2019
https://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2019-04-24-2



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