#3507 数学のセンス(1)：数字に表れる美への感動がセンスを育てる Feb. 16, 2017 [51. 数学のセンス]
今日（2/16）から所得税確定申告の受付開始です。ebisuは9時に根室税務署へ申告書類を提出に行ってきました。わたしの前に二人並んでいました。これから申告書作成コーナーで申告書を作成する人でした。部屋は申告書を作成している人でごった返していました。わたしの番が来て、作成した書類を手渡すと、それを見ずに「何かわからないことはありませんか？」と質問されました。「ありません」と答えると、それから2度書類をチェックして、マイナンバーと免許証で本人確認後、控えに受付済みの判を押して返してくれました。とっても忙しそうでした。
さて、ここからが本題。
ブログ「情熱空間」が「数字のセンス」を採りあげていたので、そこに書かれていたURLをクリックすると、「「基本」と「数字のセンス」」と題した小論が画面に出てくる。釧路の教育を考える会の「合格先生」が書いているブログである。
釧路の教育を考える会にはさまざまな職業の人たちが集（つど）っていて、その中には学習塾関係者も数名いる。釧路と根室の教育改革をしなければ地域の未来が危ういということで意見が一致しているだけで、指導論についてはそれぞれ一家言をもっているから、テーマを決めてFBの専用掲示板で議論をすることがある。相手の意見に耳を傾け理解して、自分の意見と比較して議論をする、議論をする中でいままで気がつかなかったことに気がつく、意見が異なるからこそ議論は楽しいもの。
「基本」と「数字のセンス」に興味のある方はURLをクリックしてご覧いただきたい。
ブログ「情熱空間の記事を」引用した後で、投稿したコメントに加筆して並べておく。それぞれの意見をじっくりみて、お考えいただけたら幸いです。
*http://blog.livedoor.jp/jounetsu_kuukan/archives/8735737.html#comments
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さて、ここからが本題。
ブログ「情熱空間」が「数字のセンス」を採りあげていたので、そこに書かれていたURLをクリックすると、「「基本」と「数字のセンス」」と題した小論が画面に出てくる。釧路の教育を考える会の「合格先生」が書いているブログである。
釧路の教育を考える会にはさまざまな職業の人たちが集（つど）っていて、その中には学習塾関係者も数名いる。釧路と根室の教育改革をしなければ地域の未来が危ういということで意見が一致しているだけで、指導論についてはそれぞれ一家言をもっているから、テーマを決めてFBの専用掲示板で議論をすることがある。相手の意見に耳を傾け理解して、自分の意見と比較して議論をする、議論をする中でいままで気がつかなかったことに気がつく、意見が異なるからこそ議論は楽しいもの。
「基本」と「数字のセンス」に興味のある方はURLをクリックしてご覧いただきたい。
ブログ「情熱空間の記事を」引用した後で、投稿したコメントに加筆して並べておく。それぞれの意見をじっくりみて、お考えいただけたら幸いです。
*http://blog.livedoor.jp/jounetsu_kuukan/archives/8735737.html#comments
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2017年02月12日
これが実に弱い（割合・単位換算・時間の計算）
3分の2って、約66.7%、約0.67倍だね。
同じく3分の1は、約33.3%、約0.33倍のこと。
2割5分増しの割増賃金は、125%で1.25倍のこと。
こうした日常的に使う、小数・分数の感覚。
以前よりはだいぶましになってきましたが、こうした感覚がうんとこさ弱いのが、我が釧根の子ども達です。
弱い、本当に弱い。
（悲しいかな、大人も同様…。涙）
その点、今も昔も同様です。
くしろ子ども未来塾で「算数検定」を担当させていただいて実感するのですが、かなり改善されてきてはいると思うものの、それでもまだまだ…。
「割合」、これが実に実に弱いんですね。
つまりは、小数・分数の概念、それがまだまだ。
同様に「単位換算」も、まだまだかなり弱い。
（1m=100cm 1kg=1000g 1km=1000m 1L=10dLといったもの）
「時間」の計算も同様ですね。
（時計を見比べて、経過した時間を答える問題）
割合・単位換算・時間の計算。
抽象概念の初歩の段階ですが、この三点セットが、まだまだかなり弱い。
中学生になっても、「果汁30%」と聞いてイメージできないのならば、それってつまりけっこうな重症。
濃度（理科）や時差（社会科）の計算は、自力ではできないでしょう。
割合の感覚、単位換算の感覚、時間計算の感覚。
それらは、頭で（なんとなく）理解しただけではダメなんですよね。
それだと、その感覚は身につかない。
繰り返し、反射的にイメージできるまでトレーニングすることによって、やっと感覚が身につくんです。
ところが、それをやるように主張すると、やれ詰め込みだのなどと、例によって批判されるんですよね（苦笑）。
合格先生は「センス」と表現していますが、まったくもってその通り。
現状、良くなってきたとは言え、まだまだです。
基本の習得、つまりは量を消化させなければ、適正な感覚は身につかないですからね。
●「基本」と「数字のセンス」
http://www002.upp.so-net.ne.jp/singakukouza/jijimonndai.html#Anchor-10742
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〈 投稿欄から 〉
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〈 センスを磨くために必要な基礎能力 〉
先生が百人いたら、百通りあるくらいに考えていいのかもしれません。意見の相違を楽しむのも一興です。
特定の数字の配列の中に規則性や美しい配列がさらに隠されていることに気がつく者は、数学が楽しくてしようがなくなります。
論語にも「これを知る者はこれを好む者にしかず、これを好むものはこれを楽しむ者にしかず」と言ってます。時間の流れの外側にたたずみ楽しんでいるうちに数字に関するセンスが磨かれます。夢中になって考えている内に時間があっという間に経過しているのに驚きます。通常ではない集中力が自然に発揮されています。
（2～4週間ほどもそういう状態を続けると脳がフルパワーで活動してなかなか止められなくなりますから、そういう時は必ずクールダウンしてください。目をつぶっても脳が勝手に動いて思考が止まりません、身体がつかれきるまで睡眠できない状態が訪れます。勉強や研究はすごい速度で進みますが危険です。）
高校数学では三角関数で公式がたくさん出てきますが、基本公式をいくつか覚えていれば1分で他の公式を導き出せます。すべての公式を暗記しようとする者と基本公式だけ覚えて、そこから他の公式を派生的に導き出すトレーニングをしている者とでは数学の学力に雲泥の差が生じます。
たとえば、基本公式、
sin^2 θ+cos^2 θ=1
この公式の両辺をcos^2 θで割ると、1+tan^2 θ=1/cos^2 θ が出てきます。倍角公式も半角公式も加法定理から簡単に導き出せます。こんなことは高校数学では常識ですね。
問題のパターンわけも、相互に関連のあるものをまとめてしまうとか、あるパターンから派生するものをまとめて憶えてしまう、そういうことをやってしまいます。
（基本定理と派生定理を区別して学ぶこと、基本定理の導出をやってみることや基本定理から派生定理を導き出すことは中学生からトレーニングしたほうがいいのです。分数から実数への数の概念の拡張もチャンスです。学力の高い生徒たちには概念の拡張が何をもたらすか教えてしまいましょう。）
数学のセンスのよい者はあちこちで、相互の関連の糸を見つけて利用していますから、必要最小限の暗記で済ませています。脳のワーキングメモリーへ常駐させる情報を減らして負荷を小さくしてるのです。
基礎能力は①掛け算の九九が高速で言える、②逆九九が高速で言える、そして③二桁の乗算が瞬時にできるだけで十分です。これだけで四則演算が高速にできます。瞬時に割り算の商を立てるためには二桁の概算が暗算でできれば何桁でも大丈夫です。高校数学の問題の2割はかなりの計算力を要求します。
文章題は「読み・書き・そろばん」の読みとそろばん（計算）の両方が速くて正確なほど有利です。
ところが計算力があることは直ちに数学のセンスのよさにつながりません。これはわたしの経験の範囲のことですが、珠算の高段者（女子が多いのですが、たまには男子もいますが）で数学が得意だという人は珍しいのです。3段以上は4桁の暗算が算盤を使ってやるよりも高速でできるので計算能力が抜群に高いのですが、数学が得意な人は少ない。
珠算の高段者を見る限り、数学のセンスと計算力はリンクしていないかのように感じます。不思議ですね。たぶん、計算は速いが、数字の背後に隠れている美しさに気がつくことが少ないのでしょう。計算トレーニングのしすぎの弊害です。走ってばかりいないで、たまには道端の草花に目を移し、美しいと感動するこころの余裕が必要なのでしょう。（笑）
わたしの意見を述べましたが、異論のある方はどうぞ投稿欄へ書き込んでください。穏やかな議論ができれば幸いです。
次回は「センスを磨く指導のしかた」と題して、わたしがやっている成績上位生への指導上の留意点をまとめてみます。
ニムオロ塾は個別指導なので、学力に応じて教え方を変えています。現在中2の成績上位生に3年間やってきたことを中心に紹介してみようと思います。
その生徒は中1の最初の学力テストで学年2位の生徒との四科目合計点の差が1点、2回目のテストは1学期期末テストで英語が入るので五科目になりますが差は2点、すれすれでした。その後テストの都度2位との差は開いて2週間ほど前の2月2日の学力テストでは約百点の差が生じています。90%は本人の努力ですが、指導法の影響もすこしだけありそうです。
デカルトの『方法序説』にある「科学の方法四つの規則」やユークリッド『原論』の体系を意識した指導をしています。「概念の拡張」と「基本と派生」を軸に教えています。
こういうことを通してわたしは数学的思考法を生徒に伝えているのだと思います。「数学のセンス＋数学的思考法」が身につけば、鬼に金棒と思いませんか？
*#3507 数学のセンス(1)：数字に表れる美への感動がセンスを育てる Feb. 16, 2017
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-02-15-1
#3509 数学のセンス（２）：「同型性」と「拡張」⇒どのように考えるのか Feb. 19, 2017
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-02-19
#3511 数学のセンス（３）：授業時間数減少、数量、平面図形 Feb. 24, 2017
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-02-23
#3512 数学のセンス（４）：空間図形 イメージ操作 Feb. 26, 2017
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-02-26
#3514 数学のセンス（５）：空間図形と論理的思考 Mar. 2, 2017
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-03-02
70% 20%
同じく3分の1は、約33.3%、約0.33倍のこと。
2割5分増しの割増賃金は、125%で1.25倍のこと。
こうした日常的に使う、小数・分数の感覚。
以前よりはだいぶましになってきましたが、こうした感覚がうんとこさ弱いのが、我が釧根の子ども達です。
弱い、本当に弱い。
（悲しいかな、大人も同様…。涙）
その点、今も昔も同様です。
くしろ子ども未来塾で「算数検定」を担当させていただいて実感するのですが、かなり改善されてきてはいると思うものの、それでもまだまだ…。
「割合」、これが実に実に弱いんですね。
つまりは、小数・分数の概念、それがまだまだ。
同様に「単位換算」も、まだまだかなり弱い。
（1m=100cm 1kg=1000g 1km=1000m 1L=10dLといったもの）
「時間」の計算も同様ですね。
（時計を見比べて、経過した時間を答える問題）
割合・単位換算・時間の計算。
抽象概念の初歩の段階ですが、この三点セットが、まだまだかなり弱い。
中学生になっても、「果汁30%」と聞いてイメージできないのならば、それってつまりけっこうな重症。
濃度（理科）や時差（社会科）の計算は、自力ではできないでしょう。
割合の感覚、単位換算の感覚、時間計算の感覚。
それらは、頭で（なんとなく）理解しただけではダメなんですよね。
それだと、その感覚は身につかない。
繰り返し、反射的にイメージできるまでトレーニングすることによって、やっと感覚が身につくんです。
ところが、それをやるように主張すると、やれ詰め込みだのなどと、例によって批判されるんですよね（苦笑）。
合格先生は「センス」と表現していますが、まったくもってその通り。
現状、良くなってきたとは言え、まだまだです。
基本の習得、つまりは量を消化させなければ、適正な感覚は身につかないですからね。
●「基本」と「数字のセンス」
http://www002.upp.so-net.ne.jp/singakukouza/jijimonndai.html#Anchor-10742
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〈 投稿欄から 〉
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3. Posted by ebisu 2017年02月15日 00:02
（前のコメントを受けて）
同じ経験をわたしもしたことがあります。スキルス胃癌で釧路の病院に入院していたときのことです。ベテランの看護師さんが、最近の若い看護師は希釈倍率の計算もできない人がいるので困ると言ってました。
ところで、「基本と数字のセンス」に34/51の約分の例が出ていました。北見では二桁の素数を使う約分を小学生にやらせていたと書いてありましたが、立派なものです。
ところで34と51の一の位の4と1を見てすぐに気がつくのは、7と9の段の九九に
7×2=14
7×3=21
9×6=54
9×9=81
この二つの数字が、九九の答えの一の位に4と1を含みます。だから、17が素数であると知らなくても、17で割れそうだとわかります。19が無理なことは見ただけですぐにわかります。
（約分した後に分子分母が一桁になるものはどんなに大きな数字でも1桁の素数（2,3,5,7）で割り切れます。だから素数を暗記する必要はないのです。3桁の素数でも簡単に約分できます。）
同じことは11～19までの平方数でも言えます。末尾の一の位だけ見ていれば、どの数の平方数かわかります。必ず二つの数字がセットで出てきます。
「数字のセンス」とは素数を暗記していて約分がさっとできることではなくて、数字から規則性を見つけて上手に処理することだと思います。
センスのない者はやたら暗記しないといけなくなります。
脳のワーキングメモリーはそれほど大きくないようで、あまり暗記物を詰め込むと、容量不足が生じます。ワーキングメモリーには余裕があるほうがいいのです。ケアレスミスも防げます。いっぱいいっぱいだと集中している部分はいいのですが、その外側に漠然とした注意力が働かなくなります。「分散力」としか言いようがないのですが、集中力と同じくらい大事です。
（瞑想で意識の集中と分散トレーニングをすればだれでも使いこなせるようになります）
少ないルールでたくさん処理できるというのが数字のセンス、いや数学のセンスのような気がします。
34/51については、もう一つやり方があります。34は偶数ですから2で割ってみます。51は3で割れるのは見ただけでわかるので3で割ります。そうすると、
34=2×17
51=3×17
素因数に簡単に分解できて、17で約分できることがわかります。この方法は案外使い勝手のよい汎用的なアプローチですから、この問題に限りません。
素数の17を暗記して小学生に約分練習させるのは結構ですが、二桁の素数は19、23、29、31、37、41、･･･97までたくさんありますが、全部練習させるのでしょうか？
わたしには二桁の素数を暗記して割り算練習をして約分を速くやるという方法は、「数字のセンス」と関係なさそうに見えます。
同じ経験をわたしもしたことがあります。スキルス胃癌で釧路の病院に入院していたときのことです。ベテランの看護師さんが、最近の若い看護師は希釈倍率の計算もできない人がいるので困ると言ってました。
ところで、「基本と数字のセンス」に34/51の約分の例が出ていました。北見では二桁の素数を使う約分を小学生にやらせていたと書いてありましたが、立派なものです。
ところで34と51の一の位の4と1を見てすぐに気がつくのは、7と9の段の九九に
7×2=14
7×3=21
9×6=54
9×9=81
この二つの数字が、九九の答えの一の位に4と1を含みます。だから、17が素数であると知らなくても、17で割れそうだとわかります。19が無理なことは見ただけですぐにわかります。
（約分した後に分子分母が一桁になるものはどんなに大きな数字でも1桁の素数（2,3,5,7）で割り切れます。だから素数を暗記する必要はないのです。3桁の素数でも簡単に約分できます。）
同じことは11～19までの平方数でも言えます。末尾の一の位だけ見ていれば、どの数の平方数かわかります。必ず二つの数字がセットで出てきます。
「数字のセンス」とは素数を暗記していて約分がさっとできることではなくて、数字から規則性を見つけて上手に処理することだと思います。
センスのない者はやたら暗記しないといけなくなります。
脳のワーキングメモリーはそれほど大きくないようで、あまり暗記物を詰め込むと、容量不足が生じます。ワーキングメモリーには余裕があるほうがいいのです。ケアレスミスも防げます。いっぱいいっぱいだと集中している部分はいいのですが、その外側に漠然とした注意力が働かなくなります。「分散力」としか言いようがないのですが、集中力と同じくらい大事です。
（瞑想で意識の集中と分散トレーニングをすればだれでも使いこなせるようになります）
少ないルールでたくさん処理できるというのが数字のセンス、いや数学のセンスのような気がします。
34/51については、もう一つやり方があります。34は偶数ですから2で割ってみます。51は3で割れるのは見ただけでわかるので3で割ります。そうすると、
34=2×17
51=3×17
素因数に簡単に分解できて、17で約分できることがわかります。この方法は案外使い勝手のよい汎用的なアプローチですから、この問題に限りません。
素数の17を暗記して小学生に約分練習させるのは結構ですが、二桁の素数は19、23、29、31、37、41、･･･97までたくさんありますが、全部練習させるのでしょうか？
わたしには二桁の素数を暗記して割り算練習をして約分を速くやるという方法は、「数字のセンス」と関係なさそうに見えます。
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4. Posted by ebisu 2017年02月15日 00:51
〈 美意識と数学のセンスについて 〉
〈 美意識と数学のセンスについて 〉
平方数のほうの話を具体的に書いておきます。
① ② ③
121=11^2 1,9
144=12^2 2,8
169=13^2 3,7
196=14^2 4,6
225=15^2 5,5
256=16^2 6,4
289=17^2 7,3
324=18^2 8,2
361=19^2 9,1
①平方数 ②平方 ③九九の一の位が各平方数の一の位と同じ数になる数。
面白いでしょ、③の数字は足すとすべて10です。そして数字は1から順に綺麗に並んでいます。隠れていた構造に気がついて、「ああ、美しい」と感動する心がセンスを磨きます。
数学のセンスはこういうシンプルな数字配列から規則性と美を見出すことなのです。
√169がいくつになるかは末尾の数字の9が九九で3と7の平方の末尾が9になることを知っていればわかります。√225より前なら小さい方13^2です。√289なら後の方、17^2です。
数字が大きくなるとルートが外せるのにできない中3が結構います。でも、平方数を暗記する必要はないのです。末尾に注目すれば候補は二つだけ、すぐに判別できます。
数字の背後にはさまざまな構造や美しさが隠されている、その構造や規則性は美しい、数学は美しい、そう感じるたびに数字や数学のセンスが磨かれる気がしませんか？
二桁の素数を暗記して、数字や数学のセンスが磨かれるこというのはなんだか怪しい説に聞こえます。ちっとも美しくないので感動がないのです。
（食を例にとればわかります。鮮度のよい魚の刺身を食べたら、おいしいという感動が生まれます。鮮度の悪いものとの差がはっきりわかるようになります。同じ刺身でも、刺身の色にあった美しいおお皿にのっていたらさらにおいしくなります。整理整頓がなされ掃除の行き届いた部屋で外の景色を眺めながら食べるとさらにおいしくなります。そういうことに感動することでセンスが磨かれるとわたしは思います。）
九九と逆九九が高速で言えれば十分、そして2桁の乗算の暗算ができたらなお結構。これができれば割り算も高速でやれます。商を立てるのにその都度考え込んでいるようではアウトです。2桁の乗算の暗算ができなければ、割り算の商を瞬時に立てることは無理です。
基礎トレーニング（九九と逆九九）を十分に積むこと、そしてセンスのよさは高校数学をやるときや実社会に出たときにこそ強力な武器に化けるでしょう。
① ② ③
121=11^2 1,9
144=12^2 2,8
169=13^2 3,7
196=14^2 4,6
225=15^2 5,5
256=16^2 6,4
289=17^2 7,3
324=18^2 8,2
361=19^2 9,1
①平方数 ②平方 ③九九の一の位が各平方数の一の位と同じ数になる数。
面白いでしょ、③の数字は足すとすべて10です。そして数字は1から順に綺麗に並んでいます。隠れていた構造に気がついて、「ああ、美しい」と感動する心がセンスを磨きます。
数学のセンスはこういうシンプルな数字配列から規則性と美を見出すことなのです。
√169がいくつになるかは末尾の数字の9が九九で3と7の平方の末尾が9になることを知っていればわかります。√225より前なら小さい方13^2です。√289なら後の方、17^2です。
数字が大きくなるとルートが外せるのにできない中3が結構います。でも、平方数を暗記する必要はないのです。末尾に注目すれば候補は二つだけ、すぐに判別できます。
数字の背後にはさまざまな構造や美しさが隠されている、その構造や規則性は美しい、数学は美しい、そう感じるたびに数字や数学のセンスが磨かれる気がしませんか？
二桁の素数を暗記して、数字や数学のセンスが磨かれるこというのはなんだか怪しい説に聞こえます。ちっとも美しくないので感動がないのです。
（食を例にとればわかります。鮮度のよい魚の刺身を食べたら、おいしいという感動が生まれます。鮮度の悪いものとの差がはっきりわかるようになります。同じ刺身でも、刺身の色にあった美しいおお皿にのっていたらさらにおいしくなります。整理整頓がなされ掃除の行き届いた部屋で外の景色を眺めながら食べるとさらにおいしくなります。そういうことに感動することでセンスが磨かれるとわたしは思います。）
九九と逆九九が高速で言えれば十分、そして2桁の乗算の暗算ができたらなお結構。これができれば割り算も高速でやれます。商を立てるのにその都度考え込んでいるようではアウトです。2桁の乗算の暗算ができなければ、割り算の商を瞬時に立てることは無理です。
基礎トレーニング（九九と逆九九）を十分に積むこと、そしてセンスのよさは高校数学をやるときや実社会に出たときにこそ強力な武器に化けるでしょう。
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5. Posted by ZAPPER 2017年02月15日 10:49
ebisuさん
改めて考えてみると私自身、気づかないうちにご指摘の部分を「感覚的」に理解していたように思います。となると、やはり九九を含む基礎計算の段階で、シャワーを浴びるかのような練習量を積んだ経験の賜物。今の釧根の子ども達の多くはその反対ということが言えそうです。
先日、ウチの教室長とも話したのですが、図形がまた恐ろしいほどにできなくなってきています。立体図を立体として認識できない。それ以前、平行・交わるの概念が捉えられない。展開図以前、空間図形のねじれの位置をまるで理解できない…。まさに重症。そうした生徒が増えてきています。
本来、図形や確率は「教えなくてもできる」はずのものだと私は思っておりますが、いずれも以前にも増してひどい状況になっています。抽象概念の欠落を感じる昨今であります。
改めて考えてみると私自身、気づかないうちにご指摘の部分を「感覚的」に理解していたように思います。となると、やはり九九を含む基礎計算の段階で、シャワーを浴びるかのような練習量を積んだ経験の賜物。今の釧根の子ども達の多くはその反対ということが言えそうです。
先日、ウチの教室長とも話したのですが、図形がまた恐ろしいほどにできなくなってきています。立体図を立体として認識できない。それ以前、平行・交わるの概念が捉えられない。展開図以前、空間図形のねじれの位置をまるで理解できない…。まさに重症。そうした生徒が増えてきています。
本来、図形や確率は「教えなくてもできる」はずのものだと私は思っておりますが、いずれも以前にも増してひどい状況になっています。抽象概念の欠落を感じる昨今であります。
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〈 センスを磨くために必要な基礎能力 〉
先生が百人いたら、百通りあるくらいに考えていいのかもしれません。意見の相違を楽しむのも一興です。
特定の数字の配列の中に規則性や美しい配列がさらに隠されていることに気がつく者は、数学が楽しくてしようがなくなります。
論語にも「これを知る者はこれを好む者にしかず、これを好むものはこれを楽しむ者にしかず」と言ってます。時間の流れの外側にたたずみ楽しんでいるうちに数字に関するセンスが磨かれます。夢中になって考えている内に時間があっという間に経過しているのに驚きます。通常ではない集中力が自然に発揮されています。
（2～4週間ほどもそういう状態を続けると脳がフルパワーで活動してなかなか止められなくなりますから、そういう時は必ずクールダウンしてください。目をつぶっても脳が勝手に動いて思考が止まりません、身体がつかれきるまで睡眠できない状態が訪れます。勉強や研究はすごい速度で進みますが危険です。）
高校数学では三角関数で公式がたくさん出てきますが、基本公式をいくつか覚えていれば1分で他の公式を導き出せます。すべての公式を暗記しようとする者と基本公式だけ覚えて、そこから他の公式を派生的に導き出すトレーニングをしている者とでは数学の学力に雲泥の差が生じます。
たとえば、基本公式、
sin^2 θ+cos^2 θ=1
この公式の両辺をcos^2 θで割ると、1+tan^2 θ=1/cos^2 θ が出てきます。倍角公式も半角公式も加法定理から簡単に導き出せます。こんなことは高校数学では常識ですね。
問題のパターンわけも、相互に関連のあるものをまとめてしまうとか、あるパターンから派生するものをまとめて憶えてしまう、そういうことをやってしまいます。
（基本定理と派生定理を区別して学ぶこと、基本定理の導出をやってみることや基本定理から派生定理を導き出すことは中学生からトレーニングしたほうがいいのです。分数から実数への数の概念の拡張もチャンスです。学力の高い生徒たちには概念の拡張が何をもたらすか教えてしまいましょう。）
数学のセンスのよい者はあちこちで、相互の関連の糸を見つけて利用していますから、必要最小限の暗記で済ませています。脳のワーキングメモリーへ常駐させる情報を減らして負荷を小さくしてるのです。
基礎能力は①掛け算の九九が高速で言える、②逆九九が高速で言える、そして③二桁の乗算が瞬時にできるだけで十分です。これだけで四則演算が高速にできます。瞬時に割り算の商を立てるためには二桁の概算が暗算でできれば何桁でも大丈夫です。高校数学の問題の2割はかなりの計算力を要求します。
文章題は「読み・書き・そろばん」の読みとそろばん（計算）の両方が速くて正確なほど有利です。
ところが計算力があることは直ちに数学のセンスのよさにつながりません。これはわたしの経験の範囲のことですが、珠算の高段者（女子が多いのですが、たまには男子もいますが）で数学が得意だという人は珍しいのです。3段以上は4桁の暗算が算盤を使ってやるよりも高速でできるので計算能力が抜群に高いのですが、数学が得意な人は少ない。
珠算の高段者を見る限り、数学のセンスと計算力はリンクしていないかのように感じます。不思議ですね。たぶん、計算は速いが、数字の背後に隠れている美しさに気がつくことが少ないのでしょう。計算トレーニングのしすぎの弊害です。走ってばかりいないで、たまには道端の草花に目を移し、美しいと感動するこころの余裕が必要なのでしょう。（笑）
わたしの意見を述べましたが、異論のある方はどうぞ投稿欄へ書き込んでください。穏やかな議論ができれば幸いです。
次回は「センスを磨く指導のしかた」と題して、わたしがやっている成績上位生への指導上の留意点をまとめてみます。
ニムオロ塾は個別指導なので、学力に応じて教え方を変えています。現在中2の成績上位生に3年間やってきたことを中心に紹介してみようと思います。
その生徒は中1の最初の学力テストで学年2位の生徒との四科目合計点の差が1点、2回目のテストは1学期期末テストで英語が入るので五科目になりますが差は2点、すれすれでした。その後テストの都度2位との差は開いて2週間ほど前の2月2日の学力テストでは約百点の差が生じています。90%は本人の努力ですが、指導法の影響もすこしだけありそうです。
デカルトの『方法序説』にある「科学の方法四つの規則」やユークリッド『原論』の体系を意識した指導をしています。「概念の拡張」と「基本と派生」を軸に教えています。
こういうことを通してわたしは数学的思考法を生徒に伝えているのだと思います。「数学のセンス＋数学的思考法」が身につけば、鬼に金棒と思いませんか？
*#3507 数学のセンス(1)：数字に表れる美への感動がセンスを育てる Feb. 16, 2017
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-02-15-1
#3509 数学のセンス（２）：「同型性」と「拡張」⇒どのように考えるのか Feb. 19, 2017
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-02-19
#3511 数学のセンス（３）：授業時間数減少、数量、平面図形 Feb. 24, 2017
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-02-23
#3512 数学のセンス（４）：空間図形 イメージ操作 Feb. 26, 2017
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-02-26
#3514 数学のセンス（５）：空間図形と論理的思考 Mar. 2, 2017
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-03-02
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2017-02-16 11:26
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少ないルールを用いて解法を探る。
その繰り返しこそが…。
ボンズへの実験でちょっと気づきました。
ありがとうございます。^^
by ZAPPER (2017-02-17 12:38)
算盤の有段者の件、まったくもって同感であります。
算盤では有名な子なのに、数学はまったく…。
そうした女子生徒を何人か受け持ったことがあります。
不思議です。
どうしてなんでしょう？^^
by ZAPPER (2017-02-17 14:30)
ZAPPERさん
珠算実務検定試験というのが昔ありました。高校の全道大会では1級の問題を半分の時間で競技します。
こんなに簡単な問題は出ませんが、たとえば、福利で金利5.2％、100万円を借りたら、十年後の元利合計はいくらか、あるいは年金現価に関わる問題や定率法の減価償却の問題のようなものが10題なんです。
「応用計算」と言ってましたが、1題あたり30秒ですから、文章を読んで考えたらアウトです、時間が足りません。だから読み終わると同時に計算しなければなりません。
数学の文章題なんですが、解法パターンを熟知して瞬時に計算式を頭の中で組み立て、さらに瞬時に計算をやってのけます。
根室高校の珠算部女子生徒でこの競技をやれる人はいませんでした。それで珠算部ではないわたしが「臨時の選手」として借り出されていました。男子は先輩のNさんとわたしだけ。Nさんも珠算部ではありません。
文章題（応用計算）がいくら速くなっても、頭がよくなるわけではありません。
数学の受験問題は解法パターンの数が増えるだけで似たような傾向があります。だから受験勉強を一生懸命にやっても、それは一種の芸でして・・・
だから、難関大学に合格しても、それだけではそういう芸に秀でただけの者が多くなりそうな感があります。
会社で難関大学出身者と仕事をすることが何度もありましたが、どの学校を出たかは仕事とは関係ありません。それまでに複数の専門知識をどれだけ蓄積し、良質の経験を積んだかが問われます。
少ないパターンを組み合わせて操作して、さまざまな複雑な問題を解いてみる、そういう体験の積み重ねがセンスを磨くのでしょう。
小2の息子さんの数学のセンス、大事に磨いてやってください。
わが恩師、哲学者の市倉宏祐先生は、考え事をしながら歩いていてマンホールに落下したことがあります。肋骨を折って2ヶ月入院したと笑っておられました。
学校の往復を利用した歩きながらの思索は楽しいものですが、集中の度合いが過ぎると、周りは見えているのですが、頭がそれに反応しなくなります。鈍くなるのです。
開けてあるマンホールに落っこちるぐらい思索に熱中したら本物です。（笑）
by ebisu (2017-02-17 16:23)
40年ほど前に、東京のF学院渋谷進学教室で教えていたときのことなのですが、四谷大塚で全国2位の生徒が入塾してきたことがありました。Y武先生が担当したのですが、問題消化速度が大きくて教え切れないので変わってほしいと言われて、交代したことがあります。
母親からの「要望で400ページ弱の文章題専用問題集を使っていました。
なるほど速い、105分の授業で20ページほどやれるんです。質問が時々出るので、どういう問題で質問がでるか2回観察しました。新傾向問題で急ブレーキがかかります。本当に高速でした。わたしとほとんど変わらぬ速度で解いていました。
要するに、パターンで解ける問題がものすごく速かったのです。それが通用しない新傾向問題のところで3題に2題の割合でブレーキがかかり質問が出ました。
2ヶ月ほどで1冊やりきりました。あんなに高速でさまざまなパターン解法を駆使できる生徒はなかなかいません。
わたしの感想は、「頭はあまりよい方ではない」というものでした。パターン練習のやりすぎで、頭が固くなってしまっているように見えました。もったいない。
四谷大塚の模試で全国ナンバー2でしたから、東大へは入学できたでしょう。
珠算実務検定試験1級の問題を制限時間の半分の5分でやるのと変わりません。受験の芸に秀でていました。
速度が大きいことは実社会でも武器になりますが、それだけのことです。問題はいままで出遭ったことのない複合分野の問題を解決できるかどうかということです。
小2の息子さんが、二桁の自然数の2乗の計算を工夫して答えを出す、つまりは「遊び」。どれほど楽しく遊んだかが計算の仕組みを理解させ、数学のセンスや創造性を育みます。
道草が必要なんです。直線的なのはダメ、たぶん原野をゆったり流れる川のように蛇行しながら流れていけばいいのです。
by ebisu (2017-02-17 22:53)